21点与凯利公式(期望和概率)

这几天看完一本讲赌局的书《迷失的天才》。这是一个发生在美国的真实故事,说的是一位天才的数学教授在大学生中网罗了一批数学天才,关起门来训练他们玩21点。然后指挥他们转战各个赌场,通过相互间的配合,赢了很多钱,最终又成为各大赌场的黑名单中人与追杀对象,后来这本书被拍成电影《决胜21点》,推荐您看一下。

21点的游戏规则是,大家围桌而坐,由专人依次发牌,每个人都可根据自己手中的牌点,决定继续要还是不要。大家都停止要牌后,就摊牌比大小。在21点范围内,谁大谁就赢,超过21点就算爆掉,为无条件输家。所有的闲家都可根据自己的意愿停止要牌,只有庄家的牌点必须大于16点。在这样的规则下,剩下的牌中,大点子牌越多,庄家爆掉的可能性越大。因此,这群数学天才们将7计为0点;小于7的牌算作小牌,计为 -1;大于7的算作大牌,计为 1。赌场玩21点一般都以3副牌为一局,3副牌中,小于和大于7的牌都为72张。3副牌共152张,玩到一半时,剩下几十张牌中,大点子牌占大多数时,庄家爆掉的可能性就会迅速上升。

因此,他们总是几人一组装作谁都不认识谁,进入赌场,由其中的一位先在某一张牌桌上以很小的赌注玩。他的任务是计算剩下的牌中正数与负数的比例。一旦达到理想比例,就发出一个暗号,然后离开牌桌,将座位让给某一个闻讯前来的同伴。

21点本质上是一个随机游戏,每个人的输赢概率理论上均为50%,但由于当牌点一样大时算庄家赢,因此,庄家实际赢率为51%。

但是,通过上述方式,这帮数学天才可使自己的赢率超过52%。新来的同伴只要在概率更高时加大下注金额,理论上就能赢钱。况且新来的同伴还会根据手中的牌点大小,成倍提高或适当减少下注金额,进一步提高赢的概率。就用这种方法,这群数学天才几乎横扫了拉斯维加斯的所有赌场,为自己赢得了相当可观的财富。

在这场游戏中,最难的是在大家将牌摊开的一瞬间,你能快速而准确地记住已出现过的大牌与小牌数量、计算出这一局还剩多少张牌、大牌与小牌的比例,而且要不动声色,不能让人察觉你在观察其他人摊开来的牌。这需要很高的数学天分。至于玩的方法则非常简单,说到底就是一个输赢概率和下注数量:赢的概率越高,下注的数额越大。

如果把下注金额看作股票仓位,那么在上述例子中,这群数学天才赢就赢在仓位管理上。在一局牌刚开始时,由于闲家赢的概率宏观上不到49%,因此他们只是以小小的注额试水,也就是以轻仓为主。偶尔拿到一手好牌,比如牌点非常接近于21点时,才稍稍下大一点的注,把仓位提高一点。当剩下的牌局明显地有利于闲家时,就以重仓为主。当宏观上赢面居大,微观上又拿了一手好牌时,就把仓位提高到最大限度。

运营一个赌场,要考虑的是长期的赢利,而非短期的成败。根本不用在意输钱,甚至不该害怕连续的输,因为那是的必要成本。还记得该守不守的 “结果偏好” 吗?对结果不满意?要修改规则?种人开不了赌场。

开赌场,不看结果看胜率(expectation)。大可不用管这次能不能赚,只管大家是不是一直赌下去,有没有赢利的可能。只要有50.001%的胜算,就够了,这多出来的0.001%,就要靠“一直做”来变现,放到足够多的交易中,放到足够长的时间里,就能变成一个天文数字。至于短期的损失,只会吸引更多的赌徒参与赌局,只会使赌局延续更长时间,只会让我们最终的收益更大。同样,交易中的亏损并不意味着真的损失,他是诱饵,是必要的成本,是长期的收益。

交易系统中的胜算,叫做期望收益。历史表现是推测未来期望收益的依据。计算过程有三步:第一,这个系统最初设定的买入价(entry price)和止损退出价(stop loss price)之差是多少。

第二,在最初的价格设定下,最终的交易量是多少,最后得到的收益是多少。

第三,算一算风险投入(risk),用买入价与止损价的差额,乘以最终的交易量。

第四,得到历史胜算,也就是未来的期望收益(expectation),用最终收益,除以风险投入。优秀的仓位管理技巧都来自赌场经验。在这方面最为著名的是 凯利公式:

F = (b*p - q) / b

其中,F = 投注金额占总资金的比例;

p = 获胜的概率;

q = 失败的概率,即 q = 1-p;

b = 赔率,例如在轮盘中押单个数字,b = 35,押红黑,b = 1。

假设总赌本1万元,玩家取胜的概率是51%,赔率1:1,那么凯利公式给出的最佳赌注是:

10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = 200(元)

公式中分子的b*p - q;代表“赢面”,数学中叫“期望值”(expectation),凯利公式指出:正期望值的游戏才可以下注,这是一切赌戏和投资最基本的道理,也就是前面讲的“没有把握,决不下注”。赢面还要除以“b”才是投注资金比例。 也就是说赢面相同的情况下,赔率越小越可以多押注。比如出现了三种情况:

a.“小博大”:胜率20%,赔率是5,输了全光。b*p - q = 5*20% -80% = 20%

b.“中博中”:胜率60%,1赔1。b*p - q = 1*60% - 40% = 20%

c.“大博小”:胜率80%,1赔0.5。b*p - q = 0.5*80% - 20% = 20%

三个游戏的数学期望值一样,都是20%,或者说押100元平均赢20元。按大部分国人的赌性,恐怕会选“小博大”游戏吧?但是用凯利公式中的 “b” 一除,“小博大”游戏只能押总资金的4%,“中博中”可以押20%,“大博小”可以押40%。

赢钱速度“大博小”快多了! 前面不是讲过“久赌必赢的游戏应该选波动性小的”吗? 说的就是这个了。现实中,爱玩“小博大”的多半是赌客。谁爱玩“大博小”呢? 赌场!华尔街的职业投资家们很多玩的也是“大博小”,因为便于使用杠杆(押大赌注)。关于这点后面还要详细讲。

最后,凯利公式指明了风险控制的至关重要性:即便是正期望值的游戏也不能押太大的赌注。从数学上讲,押注资金比例超过了凯利值,长期的赢钱速度反而下降,还会大大增加出现灾难性损失的可能性。举个极端的例子,如果你每手都押上全部资金,那么不管你赢过多少钱,只要输一次就立刻破产。正所谓:辛辛苦苦几十年,一夜回到解放前。为什么投资界赔到倾家荡产的尽是一些局部技术不错的老手呢?原因多半在“赌注太大”。上世纪初有位大宗师级别的投机客一世英名就毁在了这上面。

在2016年有个很火的 “投资产品” 叫做二元期权,实际是一个用期权的规则赌大小的线上赌场,注意,这些线上平台都是违法的,首先资金安全就无法得到保障,赚到钱的投资者无法提现也无处投诉。

二元期权的交易模式是,先选取预测标的,可以是股票、期货、贵金属、外汇或者他自己的产品,在该平台指定时间内交易,投资者永远不需要实质拥有资产,只需要预测资产的走向,价格并不重要,重要的是方向是否能猜正确。就是说你可以预测1分钟、5分钟、15分钟、1小时以后该标的价格的涨跌,用100元作为赌注,预测正确拿到83块,预测错误,损失本金100块。1分钟是最短的二元期权交易模式。

这里的猫腻出在哪儿呢,赔率不对等的情况下,要达到正期望值,要做到多少胜率呢?这就要详细讲一下期望值的意思。

期望值:在概率论和统计学中,期望值是指在一个离散性随机变量试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

换句话说,期望值是在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。再通俗点讲,就是我预期的获利扣掉我预期的亏损的值,如果计算出来的期望值是正的就代表我能够长期获利,相反的如果扣出来的值是负的,那我就会长期亏损。

可能还是不好理解,咱们来举个例子说说就很清楚了。

比如赌场押骰子,一般都是三颗骰子,点数加起来小于等于10,就算小,大于等于11,就算大。然后让玩家自己选择押大还是押小。

好,请回答一个问题,你认为在这个押大小的游戏中,玩家和赌场的胜率是否都是50%?

我相信绝大多数的人会说是!

在这样的情况下,的确是,但这个押大小的游戏一般还有一个条件,如果三个骰子出现的点数一样,比如三个1、三个2等,俗称豹子,这时候就是庄家通杀,算庄家赢。

猫腻就在这儿了,很多人会说,这才多大点概率。的确,这个概率很小,才2.77%。但正是因为这个2.77%的概率存在,让赌场和玩家之间的胜率变成了玩家48.61%,赌场51.39%。可别小看这点差异,接下来我们就来看看期望值是如何计算的。

假设每次玩家押100元,玩家的预期获利就是 100 x 48.61%,预期亏损则是 100 x 51.39%,也就是说在押大小这个游戏玩家的期望值计算方式如下:

押大小期望值:100 x 48.61% - 100 x 51.39% = -2.78

这代表什么意思呢?就是说每当玩家投注100元在押大小这个游戏上时,平均会损失2.78元,虽然短期内可能连续获利或连续亏损,但只要押注的次数越多,时间长了就会非常趋近这个数字。

比如说玩家玩了1000次押大小,一次平均亏损2.78元,1000次后结果就会非常接近亏损2780元!不信?你可以自己在家中试验下。

解释完这个例子,我想你也肯定已经知道了,为什么十赌九输,为什么赌场根本就不用出千耍花样照样能赚钱。因为这在游戏规则上,靠着期望值和大数法则,就已经让庄家稳赚不赔。

咱们言归正传,说押大小的例子,在咱们二元期权中,又该如何计算看待这个期望值。咱们再来举个例子,假设小明是个二元期权交易者,他每次都投资100元,他赌赢的概率大概在50%(抛硬币的概率),小明的赔率为83%,二元期权交易期望值如下:

二元期权期望值:83 * 50% - 100 * 50% = -8.5

也就是说以小明平均50%的做单胜率,每次投资100元在二元期权时,平均亏损8.5元。

假设小明一天下了十次单,那他当天的亏损将会趋近于85元。因为概率的随机性,也有可能小明会连续好几天是盈利的,但长期下来小明在二元期权交易中必然是亏损的。

我们用已知的赔率反推概率,又是什么情况?假设,小明的二元期权交易期望值为零,也就是盈亏平衡状态:

二元期权期望值:83 * x - 100 *(1 - x)=0

直接告诉大家,54.6%。只要你的做单胜率长期维持在54.6%以上,就能持续盈利。二元期权交易平台比赌场要狠多了。

所以,别以为自己运气有多好,先静下心来好好统计下自己的做单胜率到底是多少。富人和穷人思维的本质区别是富人思维懂得用概率思维来解题,而穷人不断的缴纳智商税,所有智力竞技游戏的核心都是概率。

21点与凯利公式(期望和概率)

的是一位天才的数学教授在大学生中网罗了一批数学天才,关起门来训练他们玩21点。然后指挥他们转战各个赌场,通过相互间的配合,赢了很多钱,最终又成为各大赌场的黑名单中人与追杀对象,后来这本书被拍成电影《决胜21点》,推荐您看一下。 21点的游戏规则是,大家围桌

1张扑克的游戏

妈提起了“免蹲起券”,立马让我想到了《扑克游戏》。 《扑克游戏》是某次买书拼单时塞到购物车的。带给我的小窃喜,犹如抄同学的作业没被发现一样。 而在乌伯特.盛旦老师的班里,你根本不用担心抄作业被发现后,老师会如何雷霆大怒。 因为,你可以正大光明地拥有一张“可